Variance et écart-type d'une variable aléatoire

 Définition 

Soit   $X$  une variable aléatoire sur l'univers  $\mathrm{\Omega }$  prenant les valeurs  $x_1,x_2,...,x_n$  de probabilités  $p_1,p_2,...,p_n$ . On note  $E(X)$  l'espérance de la variable aléatoire  $X$ . 

• La variance de la variable aléatoire  $X$  est le réel, noté  $V(X)$  défini par 
  

$\boxed{{\displaystyle V(X)=p_1(x_1-E(X){)}^2+...+p_n(x_n-E(X){)}^2}}$ .

• L'écart type de la variable aléatoire  $X$  est le réel noté  $\sigma (X)$  défini par   $\boxed{{\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{V(X)}}}$ . 
  

Remarques  

• La variance de la variable aléatoire  $X$ est la moyenne des carrés des écarts des  $x_i$ de l'espérance de   $X$  pondérés par les probabilités $p_i$ . Elle est donc toujours positive.
  
• Lors d'un grand nombre de répétitions de l'expérience aléatoire associée à la variable aléatoire  $X$ , la variance et l'écart-type de la série statistique des valeurs prises par  $X$ approchent la variance et l'écart-type de la variable aléatoire   $X$ . 
  
• L'écart-type est une caractéristique de dispersion pour la loi de probabilité de la variable aléatoire.
  
• Dans le cas d'une variable aléatoire modélisant un gain, l'écart-type permet de mesurer le risque de perte ou de gain.